Outils d’analyse pour les EDP

Le but de ce cours est de fournir les outils de base pour l’étude des équations aux dérivées partielles. Le cours est divisé en deux parties. La première partie se concentrera sur les opérateurs différentiels linéaires en mettant l’accent sur la théorie spectrale. La seconde partie sera consacrée à l’étude des EDP non linéaires.

• Introduction et rappels sur la transformée de Fourier, les espaces de Sobolev, les opérateurs bornés, les opérateurs compacts, le théorème de Krein Rutman.
• EDP linéaires : – Opérateurs non bornés : domaines, opérateurs fermés et fermables, adjoints, opérateurs auto-adjoints, extension de Friedrich. – Spectre des opérateurs non bornés : résolvante, spectre, spectre essentiel, théorèmes de Weyl, principe maxi-min, opérateurs à résolvante compact. – Opérateurs accréditifs : rappels sur le théorème de Hille-Yosida, semigroupes et application aux EDP, principe du maximum.
• EDP non linéaires : – L’équation de Burgers inviscide et visqueuse (explosion, chocs, ondes progressives). – Les équations d’Euler incompressibles (solutions faibles et fortes). Les équations incompressibles de Navier-Stokes et de Keller-Segel. – L’équation de Schrödinger non linéaire (estimations de Strichartz). – Estimations elliptiques non linéaires. Diverses méthodes telles que la compacité et la méthode du point fixe seront utilisées.