Analyse Harmonique, Théorie des opérateurs et Controle

Le but de ce cours est de fournir des outils d’analyse pour l’étude des EDP. – Dans un premier temps, nous introduisons les principaux outils d’analyse harmonique pour étudier la classe des opérateurs intégraux singuliers. – Dans la deuxième partie, nous visons à introduire des outils de la théorie des opérateurs utiles en théorie du contrôle.

• Analyse harmonique (Ph. Jaming) – Espaces $L^p$ et $L^p$-faibles, interpolation. – Analyses de Fourier, espaces de Sobolev, espaces de Paley-Wiener. – Fonction maximale de Hardy-Litllewood : lemme de recouvrement, caractère borné de la fonction maximale, application au théorème de différenciation de Lebesgue. Fonctions harmoniques sur le demi-espace, noyau de Poisson et comportement aux limites. – Transformations de Hilbert et de Riesz. – Intégrales singulières, décomposition de Calderon-Zugmund. – BMO. – Théorème du multiplicateur de Littlewood-Paley et de Hörmander.
• Compléments de la théorie des opérateurs et des semi-groupes (M. Tucsnak) – Extrapolation et solutions très faibles des équations d’évolution linéaire. Applications aux équations des ondes et de la chaleur avec des conditions marginales inhomogènes. – Semigroupes holomorphes : définitions équivalentes, caractérisation des générateurs, estimations de la résolvante, puissances fractionnaires, régularité maximale, perturbations. – Opérateurs de contrôle et d’observation : admissibilité dans un cadre abstrait, applications aux systèmes décrits par des EDP linéaires. – Quelques concepts de contrôlabilité et d’observabilité en dimension infinie.